IMO 2026 — Бодлого 1

Самбарт 1-ээс их 2026 ширхэг бүхэл тоо бичигдсэн байв (тэдгээр нь ялгаатай байх албагүй). Күнз нэг үйлдэлдээ самбар дээрх өөр өөр байрлалаас $m \gt 1$ ба $n \gt 1$ гэсэн хоёр бүхэл тоо сонгон авч, эдгээр хоёр тоог

$\gcd(m,n) \quad \text{ба} \quad \frac{\text{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}$

тоонуудаар солин бичнэ. Тэрээр үйлдэл хийх боломжтой л бол үйлдэл хийсээр байв.

(a) Күнзийн ямар сонголт хийхээс үл хамааран, төгсгөлөг тооны үйлдлийн дараа самбар дээр 1-ээс их яг нэг бүхэл тоо $M$ үлдэнэ гэж батал.

(b) $M$-ийн утга Күнзийн сонголтоос хамаарахгүй гэж батал.

(Санамж: $\gcd(x,y)$ нь эерэг бүхэл $x$ ба $y$ тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагч, харин $\text{lcm}(x,y)$ нь $x$ ба $y$-ийн хамгийн бага ерөнхий хуваагдагчийг тус тус тэмдэглэнэ.)