ММО 2026 — Бодлого 6

Өгөгдсөн бүхэл тоон $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$ төгсгөлгүй дарааллын бүх гишүүний хувьд $a_k$ нь $3^k k!$ тоонд хуваагддаг байв. Бүхэл тоон $b_0, b_1, b_2, b_3, \dots$ төгсгөлгүй дарааллыг $b_0=a_0$, $b_1=a_0+a_1$, $b_2=a_0+2a_1+a_2$, $b_3=a_0+3a_1+3a_2+a_3$ гэх мэтчилэн $n\ge 0$ хувьд

$b_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k$

гэж тодорхойлъё. Энд $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ биномын коэффициент. $b_0, b_1, b_2, b_3, \dots$ дарааллын ядаж $m\ge 1$ ширхэг гишүүн тэгтэй тэнцүү байдаг бол энэ дарааллын бүх гишүүн $3^m$ тоонд хуваагдана гэж харуул.

(Дэвшүүлсэн: Б. Эрдэнэбаяр)