IMO 1959 — Бодлого 5

$AB$ хэрчмийн дотоод мужид дурын $M$ цэг авав. $AB$ хэрчмийн нэг талд, харгалзан $AM$ ба $MB$ хэрчмүүдээр суурь хийсэн $AMCD$ болон $MBEF$ квадратуудыг байгуулав. Эдгээр квадратуудыг багтаасан, харгалзан $P$ болон $Q$ төвтэй тойргууд нь $M$ болон өөр нэгэн $N$ цэгт огтлолцоно. $AF$ болон $BC$ шулуунуудын огтлолцлын цэгийг $N'$ гэж тэмдэглэе.

(a) $N$ болон $N'$ цэгүүд давхцана гэдгийг батал.

(b) $M$ цэгийг хэрхэн сонгохоос үл хамааран $MN$ шулуун нь үргэлж нэгэн тогтмол $S$ цэгийг дайран гарна гэдгийг батал.

(c) $M$ цэг $A$-аас $B$-ийн хооронд хөдлөх үеийн $PQ$ хэрчмийн дундаж цэгүүдийн геометр байрыг ол.